Сопоставление волатильности с помощью параметров и и с?

На практике, при построении биномиального дерева, отражающего изменение цены акции, для оценки ее волатильности используются параметры и и ё. Чтобы понять, как это происходит, обозначим ожвд 1емую доходность акции (в реальном мире) через /л, а ее волатильность — через а.
На рис. 11.9, а продемонстрировано изменение цены акции в момент первого разветвления биномиального дерева. Длина шага по времени равна АЬ. Цена акции либо увеличивается на величину,
пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом и, либо уменьшается на величину, пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом <1. Вероятность изменения цены акции в реальном мире равна р*.
а) б)
Рис. 11.9. Изменение цены акции в момент Д? а) в реальном мире и б) в риск нейтральном
Цена акции, ожидаемая в конце первого расчетного интервала, равна 5ое^л*. На биномиальном дереве цена акции, ожидаемая в этот момент, равен
р*б'0и + (1р*)?0сг.
Чтобы сопоставить цену акции, ожидаемую в конце первого расчетного интервала, и цену акции, вычисленную с помощью биномиального дерева, запишем следующее уравнение.
р*507/ + (1р*)50Л = 5Ье"Л*.
Отсюда следует, что
А* _ л
р* = —. (11.11)
и — а
Как будет показано в главе 13, волатильность цены акции а определяется так, что величина представляет собой стандартное отклонение доходности акции за
короткий период времени Д/. Отсюда следует, что дисперсия доходности равна ст Д/. Дисперсия доходности, определенная с помощью биномиального дерева, равна2
р*и2 + (1Р*)(12\р*и + (1р*)(1\2 •?
Чтобы сопоставить волатильность цены акции с параметрами дерева, составим следующее уравнение.
р*и2 + (1p*)d2\р*и + (1p*)d}2 = a2At. (11.12)
Подставляя выражение (11.9) в формулу (11.10), получаем
e»At(u + d)ude2flAt = о2At.
Отбрасывая слагаемые, содержащие множитель Д?2 и более высокие степени величины АЬ, решение этого уравнения можно записать в следующем виде.
(11.13)
(11.14)
Эти формулы для вычисления параметров ииё были предложены Коксом, Россом и Рубинштейном (1979).
Анализ, проведенный в этой главе, показывает, что при оценке опциона дерево, изображенное на рис. 11.9, а, можно заменить деревом, изображенным на рис. 11.9, б, в котором вероятность роста цены акции равна р, а затем выполнять вычисления в соответствии с риск нейтральной моделью.
Величина р, представляющая собой риск нейтральную вероятность роста акций, вычисляется по формуле
(11.3) , т.е.
(11.15)
(11.16)
На рис. 11.9, б видно, что ожидаемая цена акции в конце расчетного интервала равна ЗоегАь, что соответствует формуле (11.4). Дисперсия цены акции равна
ри2 + (1 — p)d2 — \ри + (1 — p)d'] = [erAt(u + d) — ud — e2rAt] .
Подставляя вместо и и v выражения (11.13) и (11.14) и отбрасывая члены, содержащие множитель At2 и более высокие степени величины At, получаем, что эта дисперсия равна a2 At.
Анализ показывает, что при переходе из риск нейтрального мира в реальный ожидаемая доходность акции изменяется, однако ее волатильность остается прежней (по крайнем мере при величине At, стремящейся к нулю). Этот результат называется теоремой Гирсанова (Girsanov’s theorem). При переходе их мира с одним
набором рисковых предпочтений в мир с другими предпочтениями, ожидаемая скорость роста переменных также изменяется, но их волатильность попрежнему остается неизменной. Более детально это явление исследуется в главе 25. Переход от одной системы рисковых предпочтений к другой иногда называется изменением меры (changing the measure). Мера, применяемая в реальном мире, иногда называется Pмерой (Pmeasure), а мера, используемая в риск нейтральном мире, — Qмерой (Qmeasure).
Вернемся к американскому опциону “пут”, оцененному с помощью дерева, изображенного на рис. 11.8. В этом варианте цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 52 долл., безрисковая процентная ставка — 5%, продолжительность опциона — 2 года. Кроме того, для построения биномиального дерева использовано два шага по времени. В данном случае At = 1. Предположим, что волатильность о равна 30%. Тогда из формул (11.13)—(11.16) следует, что
и = е°'3х1 = 1,3499, d = —^ = 0,7408, а = е°’05х1 = 1,0513
1, 0530,7408 n спп(7
р = — = 0,5097.
р 1,34990.7408
Соответствующее дерево изображено на рис. 11.10. Стоимость опциона “пут” равна 7,43 долл. Эта сумма отличается от стоимости опциона, вычисленной с помощью дерева, представленного на рис. 11.8, поскольку ранее мы предполагали, что и = 1,2 и d — 0,8.
<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Сопоставление волатильности с помощью параметров и и с?:

  1. Отделение покупателей от продавцов для нахождения волатильности с помощью рыночных колебаний
  2. Сравнение волатильности валового национального продукта с рыночной волатильностью
  3. Риск: сравнение вознаграждения между более волатильными и менее волатильными портфелями взаимных фондов акций
  4. Временная структура волатильности и поверхности волатильности
  5. Возможность проведения аудитором сопоставления
  6. Сопоставления, включенные в проверяемую отчетность, и их оценка
  7. Международные сопоставления уровней производительности
  8. СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПТИМИЗАЦИИ
  9. Исчисление ошибки и сопоставление с прелварительной оценкой
  10. Модели стохастической волатильности
  11. Таблица 33 Сопоставление дохода и богатства
  12. Производительность в США: некоторые оценки и сопоставления
  13. Подразумеваемая волатильность