Одноступенчатая биномиальная модель

Рассмотрим очень простую ситуацию. Предположим, что текущая цена акции равна 20 долл., а через три месяца она будет равна либо 22 долл., либо 18 долл. Нас интересует оценка европейского опциона на покупку акции по цене 21 долл.
через три месяца. Это значит, что через три месяца цена опциона примет одно из двух значений. Если цена акции будет равна 22 долл., стоимость опциона будет равна одному доллару. Если же цена акции будет равна 18 долл., стоимость опциона будет равна нулю. Эта ситуация продемонстрирована на рис. 11.1.
Оказывается, оценить стоимость опциона в этом примере относительно просто. Для этого достаточно предположить, что арбитражные возможности отсутствуют. Создадим инвестиционный портфель, состоящий из акции и опциона, так, чтобы стоимость портфеля через три месяца была точно определенной. Поскольку этот портфель не подвержен никакому риску, доходность, которую он принесет за три месяца, равна безрисковой процентной ставке. Это позволяет нам оценить стоимость портфеля, а значит, и стоимость опциона. Поскольку в нашу схему
Цена акции 22 долл. Стоимость опциона 1 долл.
входят две ценные бумаги (акция и фондовый опцион) и только два возможных исхода, возможность создания безрискового портфеля существует всегда.
Рассмотрим портфель, состоящий из длинной позиции по пакету, состоящему из Д акций, и короткой позиции по одному опциону “колл”. Вычислим величину Д, гарантирующую безрисковость портфеля. Если цена акции поднимется с 20 до 22 долл., стоимость пакета акций будет равна 22Д, а опцион будет стоить один доллар. Таким образом, общая стоимость портфеля равна 22Д — 1 долл. Если цена акции упадет с 20 до 18 долл., стоимость пакета акций будет равна 18Д, а опцион не будет стоить ничего. Таким образом, общая стоимость портфеля будет равна 18Д долл. Портфель является свободным от рисков, если величина Д выбрана так, что стоимость портфеля в обоих вариантах является одинаковой. Отсюда следует, что
22Д1 = 18Д,
т.е.
Д = 0,25.
Таким образом, безрисковый портфель состоит из следующих ценных бумаг. Длинная позиция: 0,25 акции.
Короткая позиция: один опцион.
Если цена акции поднимется до 22 долл., стоимость портфеля станет равной
22 х 0,251 = 4.5 долл.
Если цена акции упадет до 18 долл., стоимость портфеля останется равной
18 х 0.25 — 4,5 долл.
Итак, независимо от изменений цена акции, стоимость портфеля в момент исполнения опциона является постоянной.
При отсутствии арбитражных возможностей безрисковый портфель должен приносить доходность, равную безрисковой процентной ставке. Допустим, что в нашем примере безрисковая процентная ставка установлена на уровне 12% годовых. Следовательно, текущая стоимость портфеля должна быть равной текущей стоимости 4,5 долл., т.е.
4,5е0’12х3/12 = 4,367 долл.
Текущая стоимость цены акции равна 20 долл. Обозначим цену опциона буквой /. Тогда текущую стоимость инвестиционного портфеля можно вычислить следующим образом.
20 х 0,25/ = 5/.
Отсюда следует, что
5/ = 4,367,
т.е.
/ = 0,633 долл.
Следовательно, при отсутствии арбитражных возможностей текущая стоимость опциона должна быть равной 0,633 долл. Если бы стоимость опциона была больше 0,633 долл., то стоимость портфеля стала бы ниже 4,367, а его доходность — выше безрисковой ставки.
Если бы стоимость опциона была меньше 0,633 долл., то, продав портфель без покрытия, инвестор сделал бы заем по ставке, ниже безрисковой.
Обобщение
Изложенную аргументацию можно обобщить на ситуацию, когда цена акции равна So и текущая стоимость фондового опциона — /. Предположим, что за время действия опциона Т цена акции может либо подняться до величины SQU, где и > 1, либо упасть до уровня Sod, где d < 1. Пропорциональное увеличение цены акции равно и—1, а пропорциональное уменьшение — d — 1. Если цена акции увеличивается до величины Sou, будем считать, что опцион приносит прибыль fu. Если же цена акции снижается до уровня Sod, будем считать, что опцион приносит прибыль fd. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 11.2.
Как и прежде, представим себе инвестиционный портфель, состоящий из длинной позиции на пакет из Д акций и короткой позиции по одному опциону Вычислим величину Д, при которой портфель становится свободным от риска. Если цена акции растет, стоимость портфеля в момент истечения срока действия опциона равна
Sou Аfu.?
Если цена акции падает, стоимость портфеля в момент истечения срока действия опциона равна
SodAU Приравнивая эти две величины, получим
SQUAfu = S0dAfd,
т.е.
д<1U)
JQU — bod,
В этом случае портфель свободен от рисков и должен приносить безрисковую процентную ставку. Из формулы (11.1) следует, что величина Д представляет собой отношение изменения цены опциона к изменению цены акции при перемещении из одного узла дерева в другой.
Обозначим безрисковую процентную ставку буквой г. В таком случае стоимость портфеля равна
(S0uAfu)e~rT.
Стоимость создания портфеля равна
S0Af.
Отсюда следует, что
SbA/ = (SouAfu)e~rT,
т.е.
/ = ?0Л(1uerT) + fuerT.
Подставляя в эту формулу величину Д из формулы (11.1) и выполняя некоторые упрощения, получ; ем следующее выражение.
/ = e~rT\pfu + (1.p)fd], (П2)?
и — (I
(11.3)
Формулы (11.2) и (11.3) позволяют оценить опцион, используя одноступенчатую биномиальную модель.
В рассмотренном выше примере (см. формулу (11.1)) и — 1,1, (I — 0,9, г = 0,12, Т = 0,25, /„ = 1 и — 0. Применяя формулы (11.2) и (11.3), получаем следующие результаты.
хО,25(0,6523 х 1 + 0,3477 х0) = 0,633.
Этот результат совпадает с ответом, полученным ранее.
Нерелевантность ожидаемой доходности акции
Формула (11.2) никак не связана с вероятностью изменения цены акции. Например, одну и ту же цену опциона можно получить, и когда вероятность увеличения цены акции равна 0,5, и когда она равна 0,9. Это довольно неожиданно и противоречит интуиции. Естественно было бы считать, что по мере увеличения вероятности роста цены, стоимость опциона “колл” должна возрастать, а стоимость опциона “пут” — падать. Однако это предположение не выполняется.
Основная причина этого заключается в том, что мы вычисляем не абсолютную, а относительную стоимость опциона. Вероятность будущего изменения уже учтена в текущей цене акции, поэтому нет необходимости учитывать ее снова.
<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Одноступенчатая биномиальная модель:

  1. Биномиальные деревья
  2. Двухступенчатые биномиальные деревья
  3. Использование биномиальных деревьев для оценки акций, приносящих дивиденды
  4. Биномиальные деревья
  5. Оценка фьючерсных опционов с помощью биномиальных деревьев
  6. Использование биномиальных деревьев для оценки индексных, валютных и фьючерсных опционов
  7. Слияния и поглощения компаний с различными моделями сбыта, моделями оплаты труда и корпоративными ценностями
  8. Модель Блэка-Шоулза: фундаментальные недостатки и модели рисков
  9. Классификация моделей. Понятие модели
  10. 15. 3. МОДЕЛЬ У. ШАРПА 15. 3. 1. Уравнение модели
  11. SADT-модели систем. Концепция и принципы построения SADT-модели
  12. Анархономика бросает вызов и подтачивает сегодняшнюю бизнес-модель Мы увидим, как вместо этого возникнут новые бизнес-модели Компании могут стать конкурентоспособными, используя открытые исходники и т. п. Вы можете раздавать продукт, зарабатывая на обслуживании, рекламе и т. д. Freemium — часто используемая IT-компаниями бизнес-модель Нам нужен тщательный пересмотр экономического мышления, который бы включал и анархономику
  13. Сетевые модели. Основные понятия и классы сетевых моделей
  14. Построение модели I этап построения модели
  15. Модели определения премии опционов
  16. Сравнительный анализ моделей
  17. 13.3. Ценовые модели
  18. Модели принятия решений
  19. Модели ценообразования