Формулы БлэкаШоулза

Формулы БлэкаШоулза для вычисления первоначальных цен европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций имеют следующий вид.
с = Б(^((и)Ке~гТН(с1,2), (13.20)
р = КегТК{Л2)БоЩЬ). (13.21)
Здесь
.
1п {Бо/К)+¦ (г2 + о2/2) Т
Лл= 73т •
Ь(уК) + (^^./2)Т_
ал/Т
Функция Дг(.т) — это инт егральная функция стандартизованного нормального распределения. Иначе говоря, она представляет собой вероятность того, что переменная со стандартным нормальным распределением ф(0,1) меньше величины х. Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Остальные переменные были введены ранее.
Рис. 13.3. Закрашенная область представляет собой величину А’(гг )
Переменные сир — это цены европейских опционов на покупку и продажу акций соответственно, 50 — первоначальная цена акции, К — цена исполнения, г — непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка, а — волатильность цены акции, а Т — время, оставшееся до завершения срока действия опциона.
С одной стороны, формулы БлэкаШоулза можно вывести, решив дифференциальное уравнение (13.16) при краевых условиях, указанных в разделе 13.6. С другой стороны, можно воспользоваться риск нейтральным методом. Рассмотрим европейский опцион на покупку. В риск нейтральных условиях ожидаемая стоимость опциона в момент его исполнения равна
Е [шах (Я'г — К, 0)],
где символ Е, как и прежде, обозначает математическое ожидание случайной величины в риск нейтральных условиях. Метод риск нейтральных оценок приводит нас к выводу, что цена европейского опциона “колл” с представляет собой его ожидаемую стоимость за вычетом безрисковой процентной ставки:
с = е~гГЕ [тах (5г — К, 0)]. (13.22)
Как показано в приложении 13.1, это уравнение приводит к формуле (13.20).
Чтобы дать интерпретацию членов формулы (13.20), обратим внимание на то, что ее можно переписать в другом виде.
С = егТ[Б0]\(ё1)егТКЩФй]. (13.23)
Выражение Л’(г/2) представляет собой вероятность того, что опцион в риск нейтральных условиях будет исполнен, так что величина К N((1,2) — это цена исполнения, умноженная на вероятность ее выплаты. Выражение 5оА’(^1 )(г1 является ожидаемым значением переменной, которая в риск нейтральных условиях равна 5т, если 5т > К, и нулю — в противном случае.
Если акция является бездивидендной, то цена европейского опциона равна цене американского опциона (см. раздел 9.5). Следовательно, формула (13.20) позволяет вычислить также цену американского опциона на покупку бездивидендной акции. К сожалению, для цены американского опциона на покупку бездивидендной акции аналогичной аналитической формулы не существует.
Вычислительные процедуры и аналитические аппроксимации цены американского опциона “колл” обсуждаются в главе 17.
При использовании формулы БлэкаШоулза на практике процентную ставку г устанавливают равной безрисковой процентной ставке нулевого купона с погашением в момент Т. Как будет показано позднее, если величина г задается известной функцией, зависящей от времени, это предположение является корректным. Кроме того, оно является теоретически корректным, если цена акции в момент Т имеет логнормальное распределение, а параметр волатильности выбран соответствующим образом. Как указывалось ранее, время, как правило, измеряется количеством операционных дней, оставшихся до истечения срока действия опциона, деленным на количество операционных дней в году.
Свойства формул БлэкаШоулза
Продемонстрируем свойства БлэкаШоулза, рассмотрев некоторые экстремальные ситуации.
Если цена акции 5о становится слитком высокой, опцион “колл” обязательно будет исполнен. Этим он напоминает форвардный контракт с ценой поставки К. Из формулы (5.5) следует, что его цена равна
50Ке~гТ.
Фактически, эта величина представляет собой цену опциона “колл”, вычисленную по формуле (13.20), поскольку, если величина 5о становится слишком большой, параметры и (/2 также принимают очень большие значения, а числа N ((!,{) и А’(г/2) стремятся к единице. Если цена акции становится очень большой, цена европейского опциона “пут” р стремится к нулю. Это соответствует формуле (13.21), поскольку величины АГ(—^х) и А’(—с/2) близки к нулю.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда волатильность о стремится к нулю. Поскольку акция является свободной от риска, ее цена в момент Т возрастает со скоростью SQ(:tT, а прибыль от опциона “колл” равна
max(SoerT — К, 0).
Учитывая ставку дисконта г, получаем, что текущая стоимость опциона равна
e~rT max(5oerT — К, 0) = max(So — Ke~rl, 0).
Для того чтобы показать, что этот результат соответствует формуле (13.20), рассмотрим сначала случай, когда So > Ке~гТ. Отсюда следует, что In (So/К') + +гТ > 0. Если а —> 0, то d\ —> +оо и d2 —> +оо, так что N(di) —> 1 и N(d2) —> 1, и формула (13.20) принимает следующий вид.
с = SoКе~гТ.
Если So < Ке~гТ, то \n(So/K) + гТ <0. Если а —> 0, то d\ —> —оо ud2 —> —ос, так что Ar(di) —» 0 и N(d2) 0, и из формулы (13.20) следует, что стоимость опциона “колл” равна нулю. Таким образом, при а —> 0 стоимость опциона “колл” равна max (So — Ke~rT, 0). Аналогично можно показать, что при а —> 0 стоимость опциона “пут” равна max (Ke~rT — So, 0).
<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Формулы БлэкаШоулза:

  1. Альтернативы модели БлэкаШоулза
  2. Формулы для вычисления цен опционов
  3. формулу
  4. Формула Ta-Da
  5. Формулы на закуску
  6. Формула 4Д
  7. Формула готовности
  8. Формула двойного А
  9. БЕЗОШИБОЧНАЯ ФОРМУЛА
  10. Формула Аффилиатов Номер Один: