Дельтахеджирование

Большинство трейдеров используют более сложные схемы хеджирования, чем описанные выше. Эти схемы связаны с вычислением коэффициентов дельта, гамма и вега. В данном разделе мы рассмотрим роль, которую играет коэффициент дельта.
Коэффициент депьта (обозначается буквой Д) был введен в главе 11.
Он представлял собой скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базового актива. С геометрической точки зрения, коэффициент дельта характеризует наклон кривой, отражающей зависимость между ценами опциона и базового актива. Допустим, что коэффициент дельта опциона на покупку акций равен 0,6. Это значит, что при изменении цены акции на небольшую величину цена опциона изменится на 60% этого приращения. Зависимость между ценой опциона на покупку акции и ценой этой акции изображена на рис. 15.2. Цене акции і соответствует точка А, цене опциона — точка В, а коэффициент дельта равен утло( вому коэффициенту этой прямой. Общая формула для вычисления коэффициента ? дельта имеет следующий вид. |
Л !
~ дБ'
Здесь с — цена опциона “колл”, а Б — цена акции.
Рис. 15.2. Вычисление коэффициента дельта
Допустим, что рис. 15.2 описывает ситуацию, в которой цена акции равна 100 долл., а цена опциона — 10 долл. Представим себе инвестора, продавшего 20 опционных контрактов “колл”, т.е. опционы на покупку 2 000 акций. Позицию инвестора можно хеджировать, купив 0,6 х 2 000 = 1200 акций. Прибыль (убытки) от этой опционной позиции можно компенсировать убытками (прибылью) от колебания цены акции. Например, если цена акции вырастет на один доллар (что принесет инвестору прибыль в размере 1 200 долл.), то цена опциона поднимется на 0,6 х 1 = 0.60 долл. (что принесет убытки в размере 1 200 долл.). Если же цена акции упадет на один доллар (что принесет инвестору убытки в размере 1 200 долл.), то цена опциона снизится на 0,6 х 1 = 0,60 долл. (что принесет прибыль в размере 1 200 долл.).
В данном примере коэффициент дельта опционной позиции инвестора равен
0,6 х (2000) =1200.
Иначе говоря, инвестор, занимающий короткую позицию, при увеличении цены акции на величину А Б теряет 1 200Д5' долл. Коэффициент дельта этой акции равен 1,0, а коэффициент дельта длинной позиции по 1200 акциям равен +1200.
Таким образом, коэффициент дельта, характеризующий общую позицию инвестора, равен нулю. Коэффициент дельта позиции по акциям компенсируется коэффициентом дельта опционной позиции. Позиция, коэффициент дельта которой равен нулю, называется дельтанейтральной (delta neutral).
Следует подчеркнуть, что коэффициент дельта со временем изменяется, поэтому позиция инвестора остается дельтахеджированной (т.е. дельтанейтральной) только на протяжении относительно короткого промежутка времени. Таким образом, хеджинговый контракт необходимо время от времени корректировать. Этот процесс называется балансированием (rebalancing). В нашем примере к концу третьего дня цена акции может вырасти до 110 долл. Как показано на рис. 15.2, рост цены акции приводит к увеличению коэффициента дельта. Допустим, что коэффициент дельта увеличился с 0,60 до 0,65. Тогда, для того чтобы сбалансировать хеджинговую сделку, необходимо дополнительно купить 0,05 х 2 000 = 100 акций. Такая схема называется динамическим хеджированием (dynamichedging scheme). Противоположная схема называется статическим хеджированием (statichedging scheme). В рамках этой схемы условия хеджингового контракта устанавливаются раз и навсегда и впоследствии не корректируются. Схемы статического хеджирования иногда называются схемами ".хеджируй и забудь ” (hedgeandforget schemes).
Коэффициент дельта тесно связан с методом БлэкаШоулзаМертона. Как показано в главе 13, Блэк, Шоулз и Мертон доказали возможность создания инвестиционного портфеля, состоящего из опциона на акцию и позиции по самой акции. Через коэффициент дельта портфель БлэкаШоулза описывается следующим образом.
— 1: опцион;
+А: количество акций.
Используя новую терминологию, можно сказать, что Блэк и Шоулз оценивали опционы, создавая дельтанейтральную позицию и учитывая, что доходность позиции должна быть равной безрисковой процентной ставке.
Коэффициенты дельта, характеризующие европейские фондовые опционы
Можно показать, что для европейских опционов на покупку бездивидендных акций
А = JV(di),
ще величина d\ определена по формуле (13.20). Следовательно, в любой момент времени дельтахеджирование короткой позиции по европейскому опциону “колл” сопряжено с длинной позицией по N(d\) акциям. Аналогично дельтахеджирова
ниє длинной позиции по европейскому опциону “колл” в любой момент времени сопряжено с короткой позицией по N ((її) акциям.
Для европейского опциона на покупку бездивидендных акций коэффициент Д вычисляется по следующей формуле.
Дрш = Щ(Ь)1.
Коэффициент дельта является отрицательным. Это значит, что длинная позиция в опционе “пут” должна быть хеджирована длинной позицией по соответствующим акциям, а короткая позиция в опционе “пут” — короткой позицией по базовым акциям. Изменение коэффициентов Д опционов “колл” и “пут” в зависимости от цены акции приведено на рис. 15.3. Зависимость коэффициентов дельта опционов “с выигрышем”, “без выигрыша” и “с проигрышем” от времени, оставшегося до завершения, приведена на рис. 15.4.
Рис. 15.3. Изменение коэффициента дельта в зависимости от цены акции: 1) опцион на покупку и 2) опцион на продажу бездивидендных акций
Коэффициенты дельта, характеризующие другие европейские опционы
Коэффициент Д европейского опциона на покупку актива с доходностью д вычисляется по формуле
Дсаіі =
где величина (1\ вычисляется по формуле (14.4). Коэффициент дельта европейского опциона на продажу актива с доходностью д вычисляется по формуле?
Рис. 15.4. Типичные зависимости коэффициента дельта от времени, оставшегося до завершения опциона
Если активом является фондовый индекс, эти формулы остаются корректными, если величина q равна дивидендной доходности акций, на основе которых вычисляется индекс. Если активом является иностранная валюта, они остаются справедливыми, если величина q равна иностранной безрисковой процентной ставке гу. Если активом является фьючерс, формулы остаются правильными, если величина q равна внутренней безрисковой процентной ставке г.
Пример 15.1
Некий банк в США продал шестимесячные опционы на продажу одного миллиона фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,6000 долл. и желает создать дельтанейтральный инвестиционный портфель. Допустим, что текущий курс фунта стерлингов равен 1,6200, безрисковая процентная ставка в Великобритании — 13% годовых, безрисковая процентная ставка в США — 10% годовых, а волатильность фунта стерлингов — 15%. В таком случае So = 1,6200, К = 1,6000, г = 0,10, ту = 0,13, а = 0,15 и Т = 0,5. Коэффициент дельта опциона на продажу валюты равен
[N(di)1] e~rfT, где величина d\ вычисляется по формуле (14.7). Легко видеть, что
di = 0,0287 и N(di) = 0,5115,
так что коэффициент дельта опциона “пут” равен —0,458. Эта величина представляет собой коэффициент дельта, характеризующий длинную позицию в одном опционе “пут”. (Иначе говоря, если валютный курс вырастает на Д5 долл., цена опциона “пут” падает на 45,8% величины Д.5’.) Коэффициент дельта, характеризующий короткую позицию банка, равен +458000. Чтобы сделать эту позицию дельтанейтральной, необходимо в дополнение к позиции по опциону занять короткую позицию на 458 000 фунтов стерлингов. Ее коэффициент дельта равен —458000. Таким образом, этот коэффициент компенсирует коэффициент дельта опционной позиции. ?
Коэффициенты дельта форвардных контрактов
Коэффициент дельта может характеризовать не только опционы, но и другие финансовые инструменты. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидендные акции. Формула (5.5) утверждает, что стоимость форвардного контракта равна 50 — Ке~гТ, где К — цена поставки, а Т — время, оставшееся до завершения контракта. Если цена акции изменяется на Д51, а остальные параметры остаются постоянными, то стоимость форвардного контракта на поставку акций изменится на эту же величину. Следовательно, коэффициент дельта форвардного контракта на поставку одной акции всегда равен 1,0. Это значит, что короткую позицию по форвардному контракту на поставку одной акции можно хеджировать, купив одну акцию, а длинную позицию по форвардному контракту на поставку одной акции можно хеджировать, продав одну акцию.
Для актива, дивидендная доходность которого равна д, равенство (5.7) показывает, что дельта форвардного контракта равна е(?т. Для фондового индекса величина д равна его дивидендной доходности. Для валюты он равен иностранной безрисковой процентной ставке ту.
Коэффициенты дельта фьючерсных контрактов
Из формулы (5.1) следует, что стоимость фьючерсного контракта на поставку бездивидендных акций равна воегТ, где Т — время, оставшееся до завершения контракта. Если цена акции изменяется на Д5, а остальные параметры остаются постоянными, то стоимость фьючерсного контракта на поставку акций изменится на АБегТ. Поскольку расчеты по фьючерсным контрактам осуществляются ежедневно, инвестор, занимающий длинную позицию во фьючерсном контракте, практически немедленно получает соответствующую прибыль. Следовательно, коэффициент дельта фьючерсного контракта равен егТ. Для фьючерсного контракта на актив, дивидендная доходность которого равна д, из формулы (5.3) следует, что коэффициент дельта равен е^г~я^т. Интересно, что изза постоянной переоценки активов коэффициенты дельта, характеризующие форвардные и фьючерсные контракты, немного отличаются друг от друга, даже если процентные ставки остаются неизменными, а форвардная и фьючерсная цены совпадают.
Иногда фьючерсные контракты используются для создания дельтанейтральной позиции. Введем следующие обозначения.
Т: срок действия фьючерсного контракта;
НА' требуемая позиция по активу, подлежащему дельтахеджированию;
Нр: альтернативная позиция по фьючерсному контракту, с помощью которого осуществляется дельтахеджирование.
Если базовым активом являются бездивидендные акции, проведенный выше анализ показывает, что
Нр = е~гТНА. (15.2)
Если дивидендная доходность базового актива равна д, то
Нр = е^^Нд. (15.3)
Для фондового индекса величина д равна его дивидендной доходности. Для валюты она равна иностранной безрисковой процентной ставке rf. Таким образом,
Нр = е^г~г^тНА. (15.4)
Пример 15.2
Рассмотрим опцион из предыдущего примера в ситуации, когда для хеджирования валютных рисков необходимо занять короткую позицию на 458 000 фунтов стерлингов.
Из формулы (15.4) следует, что для хеджирования с помощью девятимесячных валютных фьючерсов необходимо занять короткую фьючерсную позицию на
е(о,юо, 13)х9/12^д рдр _ 468442 фунтов стерлингов.
Поскольку каждый фьючерсный контракт предусматривает покупку или продажу 62500 фунтов стерлингов, необходимо занять короткую позицию по семи фьючерсным контрактам (семь — это ближайшее целое число, получающееся после округления дроби 468 442/62 500). ?
Динамические аспекты дельтахеджирования
В табл. 15.2 и 15.3 приведены результаты дельтахеджирования, описанного в примере 15.1. Предполагается, что балансирование выполняется каждую неделю. Первоначальное значение коэффициента дельта равно 0,522. Это значит, что при продаже опциона инвестор должен занять 2 557 800 долл. и купить 52 200 акций по цене 49 долл. Процентная ставка равна 5%. Следовательно, издержки на уплату процентов в конце первой недели равны 2 500 долл.
Таблица 15.2. Моделирование дельтахеджирования (опцион закрывается “с выигрышем”; стоимость хеджирования равна 263 300 долл.)
Неделя Цена
акции Дельта Количество
купленных
акций Стоимость купленных акций, тыс. долл. Накопленная стоимость, включая доход, тыс. долл. Издержки на уплату процентов
0 49,00 0,522 52 200 2557,8 2557,8 2,5
1 48,12 0,458 (6400) (308,0) 2 252,3 2,2
2 47,37 0,401) (5800) (274,7) 1979,8 1,9
3 50,25 0,596 19600 984,9 2 996,6 2,9
4 51,75 0,693 9700 502,0 3471,5 3,3
5 53,12 0,774 8100 430,3 3905,1 3,8
6 53,00 0.771 (300) (15,9) 3893,0 3,7
7 51,87 0,706 (6500) (337,2) 3559,5 3,4
8 51,38 0,674 (3200) (164,4) 3398,5 3,3
9 53,00 0,787 11300 598,9 4000,7 3,8
10 49,88 0,550 (23 700) (1182,2) 2822,3 2,7
11 48,50 0,413 (13700) (664,4) 2160,6 2Д
12 49,88 0,542 12900 643,5 2806,2 2,7
13 50,37 0,591 4900 246,8 3055,7 2,9
14 52,13 0,768 17700 922,7 3981,3 3,8
15 51,88 0,759 (900) (46,7) 3938,4 3,8
16 52,87 0,865 10600 560,4 4502,6 4,3
17 54,87 0,978 11300 620,0 5126,9 4,9
18 54,62 0,990 1200 65,5 5197,3 5,0
19 55,87 1,000 1000 55,9 5 258,2 5,1
20 57,25 1,000 0 0,0 5263,3
В табл. 15.2 цена акции к концу первой недели падает до 48,12 долл. Коэффициент дельта уменьшается до 0,458. Следовательно, для поддержки хеджирования необходимо продать 6 400 акций. Эта стратегия приносит 308 000 долл. наличными, а накопленный долг в конце первой недели равен 2 252,300 долл. На протяжении второй недели цена акции снижается до 47,37 долл., коэффициент дельта снова падает и т.д. К концу срока действия опциона становится очевидным, что опцион будет исполнен, а коэффициент дельта стремится к 1,0. Следовательно, в конце 20й недели хеджер будет занимать полностью покрытую позицию. Хеджер получит 5 млн. долл. за свои акции, так что стоимость опциона и затраты на хеджирование окажутся равными 256 600 долл.
Таблица 15.3. Моделирование дельтахеджирования (опцион закрывается “с проигрышем”; стоимость хеджирования равна 256 600 долл.)
Неделя Цена
акции Дельта Количество
купленных
акций Стоимость купленных акций, тыс. долл. Накопленная стоимость, включая доход, тыс. долл. Издержки на уплату процентов
0 49,00 0,522 52 200 2 557,8 2 557,8 2,5
1 49,75 0,568 4 600 228,9 2 789,2 2,7
2 52,00 0,705 13700 712,4 3504,3 3,4
3 50,00 0,579 (12600) (630,0) 2 877,7 2,8
4 48,38 0,459 (12000) (580,6) 2 299,9 2,2
5 48,25 0,443 (1600) (77,2) 2 224,9 2Д
6 48,75 0,475 3 200 156,0 2 383,0 2,3
7 49,63 0,540 6500 322,6 2 707,9 2,6
8 48,25 0,420 (12000) (579,0) 2131,5 2,1
9 48,25 0,410 (1000) (48,2) 2085,4 2,0
10 51,12 0,658 24800 1267,8 3355,2 3,2
11 51,50 0,692 3 400 175,1 3533,5 3,4
12 49,88 0,542 (15000) (748,2) 2 788,7 2,7
13 49,88 0,538 (400) (20,0) 2 771,4 2,7
14 48,75 0,400 (13800) (672,7) 2101,4 2,0
15 47,50 0,236 (16400) (779,0) 1324,4 1,3
16 48,00 0,261 2 500 120,0 1445,7 1,4
17 46,25 0,062 (19900) (920,4) 526,7 0,5
18 48,13 0,183 12100 582,4 1109,6 1,1
19 46,63 0,007 (17600) (820,7) 290,0 0,3
20 48,12 0,000 (700) (33,7) 256,6
В табл. 15.3 продемонстрировано альтернативное развитие событий, когда опцион закрывается “с проигрышем”. К концу срока действия опциона становится ясно, что его исполнение нецелесообразно, а коэффициент дельта стремится к нулю. В конце 20й недели хеджер будет занимать непокрытую позицию и понесет убытки в размере 256 600 долл.
Стоимость хеджирования опциона, приведенная в табл. 15.2 и 15.3, уменьшенная на величину дисконта, близка, но не совпадает со стоимостью опциона, вычисленной по формуле БлэкаШоулза и равной 240 000 долл. Если бы хеджирование было идеальным, стоимость хеджирования с учетом дисконта была бы равной цене, вычисленной по формуле БлэкаШоулза на каждом расчетном интер
вале. Причина колебания стоимости дельтахеджирования заключается в том, что балансирование осуществляется только один раз в неделю. Если бы балансирование выполнялось чаще, колебания стоимости хеджирования стали бы меньше. Разумеется, примеры, приведенные в табл. 15.2 и 15.3, являются идеализированными, поскольку волатильность считается постоянной, а транзакции предполагаются бесплатными.
Чувствительность дельтахеджирования, вычисленная на основе моделирования 1000 случайных траекторий цены акции, приведена в табл. 15.4. Как и в табл. 15.1, коэффициент чувствительности представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона, вычисленной по формуле БлэкаШоулза. Очевидно, что дельтахеджирование намного эффективнее стратегии ограничения убытков. В отличие от последней, чувствительность дельтахеджирования при учащении перерасчетов удается снизить намного меньше.
Таблица 15.4. Чувствительность дельтахеджирования. (Коэффициент чувствительности представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона)
Интервал хеджирования, недели 5 4 2 1 0,5 0,25
Эффективность хеджирования 0,43 0,39 0,26 0,19 0,14 0,09
Цель хеджирования — сохранить постоянство позиции финансовой организации, насколько это возможно. Изначальная стоимость проданного опциона равна 240000 долл. Как показано в табл. 15.2, через девять недель стоимость опциона может стать равной 414500 долл. Таким образом, финансовая организация изза неудачной опционной позиции теряет 174 500 долл. С точки зрения накопленных наличных сумм, девятая неделя на 1 442 900 долл. хуже нулевой. Стоимость акций, находящихся в собственности инвестора, возрастает с 2 557 800 до 4 171 100 долл.
В итоге, стоимость позиции финансовой организации за девять недель изменяется только на 4 100 долл.
За счет чего образуется стоимость
Дельтахеджирование, описанное в табл. 15.2 и 15.3, позволяет синтетиче1 ски создать длинную позицию по опциону. Она нейтрализует короткую позицию, < возникшую изза выписанного опциона. Эта схема сопряжена с продажей акций сразу после снижения цены и покупкой акций немедленно после ее повышения. Таким образом, ее можно охарактеризовать следующими словами: “покупай на повышении и продавай на понижении!” Стоимость, равная 240 000 долл., образуется за счет средней разности между ценой, выплаченной за акцию при покупке, и ценой, вырученной за счет ее продажи.
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля, состоящего из опционов или других производных ценных бумаг, зависящих от отдельного актива, цена которого равна ?, вычисляется по формуле
Ш
~8Б'
где П — стоимость портфеля.
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля можно вычислить с помощью коэффициентов дельта отдельных опционов, входящих в него. Если портфель содержит иц опционов (1 ^ г ^ п), коэффициент дельта портфеля вычисляется по формуле
п
А =
г=1
где Дг — коэффициент дельта гго опциона. Эту формулу можно использовать для вычисления стоимости позиции по базовому активу или по фьючерсному контракту на поставку базового актива, необходимой для осуществления дельтахеджирования. Заняв эту позицию, инвестор может свести коэффициент дельта к нулю и сделать инвестиционный портфель дельтанейтральным.
Допустим, что некая финансовая организация в США занимает следующие три позиции в опционах на австралийский доллар.
1. Длинная позиция в 100 000 опционах “колл” с ценой исполнения 0,55 долл. и сроком действия, истекающим через три месяца. Коэффициент дельта каждого из опционов равен 0,533.
2. Короткая позиция в 200 000 опционах “колл” с ценой исполнения 0,56 долл. и сроком действия, истекающим через пять месяцев. Коэффициент дельта каждого из опционов равен 0,468.
3. Короткая позиция в 50 000 опционах “пут” с ценой исполнения 0,56 долл. и сроком действия, истекающим через два месяца. Коэффициент дельта каждого из опционов равен —0,508.
Коэффициент всего портфеля равен
100000 х 0,533200000 х 0,46850000 х (0,508) =14900.
Это значит, что портфель можно сделать дельтанейтральным, заняв длинную позицию на 14900 австралийских долларов.
В данном примере дельтанейтральность портфеля можно обеспечить также с помощью шестимесячного форвардного контракта. Допустим, что в Австралии безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а в США — 5% (т.е. г = 0,05 и г/ = 0,08). Коэффициент дельта форвардного контракта на поставку одного австралийского доллара, истекающего в момент Т, равен ё~г1т, т.е. е~°’08х0,5 = = 0,9608 долл. Длинная позиция в форвардных контрактах на поставку австралийских долларов, обеспечивающая дельтанейтральность инвестиционного портфеля, стоит 14900/0,9608 = 15508 долл.
Еще одной альтернативой является шестимесячный фьючерсный контракт. Из формулы (15.4) следует, что длинная позиция по фьючерсам на поставку австралийских долларов, обеспечивающая дельтанейтральность портфеля, стоит
14900е_(0’05~°'08)><0’5 = 15125 долл.
Стоимость транзакций
Методы поддержки дельтанейтральной позиции по отдельному опциону и базовому активу, описанные выше, могут оказаться чрезмерно затратными, поскольку каждая сделка сопровождается расходами на выполнение транзакций. Если портфель состоит из большого количества опционов, дельтанейтральность становится реальнее, поскольку для сведения его коэффициента дельта к нулю требуется только одна сделка. Транзакции, связанные с хеджированием, снижают прибыли, полученные от заключения большого количества сделок.
<< | >>
Источник: Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. 2007

Еще по теме Дельтахеджирование:

  1. Коэффициент гамма
  2. Коэффициент дельта
  3. Вспомогательная аксиома № 15. Никогда не пытайтесь спасти плохие инвестиции за счет усреднения
  4. Спекулятивная стратегия
  5. Основная аксиома № 12
  6. О планировании
  7. Вспомогательная аксиома № 16. Избегайте долгосрочных инвестиций
  8. Спекулятивная стратегия
  9. Основная аксиома № 11
  10. Об упорстве
  11. Спекулятивная стратегия
  12. Основная аксиома № 10
  13. О консенсусе
  14. Вспомогательная аксиома № 14. Никогда не следуйте чужим прихотям. Часто наилучшее время для покупки наступает тогда, когда никто другой этого не хочет
  15. Спекулятивная стратегия