ПОЧЕМУ НАМ ТРУДНО В ЭТО ПОВЕРИТЬ? ОТВЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ: СТЕПЕНИ ТРУДНО ОСОЗНАТЬ.

Как визирь в древней задаче про шахматы и зёрнышки, мы и сейчас плоховато понимаем степенную функцию. Даже если мы подучились математике и статистике, это всё равно как-то непривычно. Вот пример неправильной логики: какова вероятность выпадения 10 решек подряд? Нетренированный мозг может составить примерно такую цепочку мыслей: одна решка — это 50 %.

Две решки выбросить в два раза труднее, это 25 %. Ну а десять решек — в 10 раз труднее, ну то есть 5 %. Ну вот мы и обосрамились. Реальный шанс — это 1/2 в 10-й степени, то есть одна тысячадвадцатьчетвёртая, то есть чуть меньше десятой доли процента. Ошиблись немножко в 50 раз.

Но даже после обучения мы обманываемся. Пять процентов годовых удвоят капитал не за 20 лет, а за 14. А 20 % годовых — быстрее, чем за 4 года. Так как у нас курс о финансах, я вам раскрою секретный способ быстро узнать, при какой доходности ваш капитал удвоится. Надо 72 поделить на ожидаемую доходность. Если доходность 6 процентов, надо 72 поделить на 6, и мы получим 12, то есть при дохе в 6 % капитал удвоится за 12 лет. Для более точного результата надо брать 69, но 72 удобнее делить на разные числа. Да и, кстати, с 14 % инфляцией за 5 лет мы теряем половину капитала. Ну или зарплаты, если её пять лет не повышают.

Так и вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (а их целых 253) значительно превышает число человек в группе.

Дело в том, что люди эгоистичны. Мы часто не думаем об окружающих. И правда, чего о них думать? В комнате, где находятся 23 человека, вы наверняка думаете о том, что именно ваш день рождения должен совпасть с чьим-то из остальных. Но вы вряд ли подумаете о том, что ещё есть 230 сравнений между другими участниками эксперимента. Вам даже не пришло в голову, что сравнений, которые вас не касаются, в 10 раз больше.

И вопрос о том, совпадут ли дни рождения у кого-либо, подменился в мозгу на вопрос о том, совпадут ли дни рождения у выбранного человека с кем-либо другим из группы. В этом случае вероятность совпадения, конечно, заметно ниже.

Вроде бы нетрудно перечислить все сочетания и проверить, но есть сложность: может же оказаться, что будет 2, 3 или все 23 совпадения. Этот вопрос похож на другой: какова вероятность выбросить хотя бы одну решку за 23 броска? Вариантов много: решка на первый раз, на третий, или на пятый и десятый, или на второй и двадцать второй. Как решить такую задачу? Перевернуть!

Вместо того чтобы считать каждый способ выбросить решку, мы посчитаем вероятность выпадения неудачного сценария, когда выпадают только орлы. Вероятность этого — 1/2 в 23-й степени, очень небольшая. Но важно понять схему: если существует, например, всего 1 % вероятность выбросить все орлы, будет 99 % шанс того, что выпадет хотя бы одна решка. Мы не знаем — одна, две, десять, или пятнадцать, или все 23. Но если мы вычтем вероятность неподходящего нам сценария из единицы, у нас как раз останется вероятность нужного нам сценария.

Этот же принцип можно применить и к задаче о днях рождения. Вместо того чтобы искать вероятность совпадения, гораздо проще найти вероятность того, что все родились в разные дни. Потом мы вычтем эту цифру из единицы и получим вероятность того, что есть хотя бы одно совпадение — хотя и не будем знать, сколько именно их будет, но нам это и не требуется. В нашем случае надо умножить 364/365 на 363/365, продолжить 22 раза и вычесть произведение из единицы. Получится 50.73 %, то есть больше половины.

Кстати, для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя (надеюсь, это очевидно) 100 % она достигает, только когда в группе будет не менее 367 человек — с учётом високосных лет.

Пожалуй, с вычислениями пока всё. Можно расслабиться.

<< | >>
Источник: Алексей Марков. Хулиномика: Хулиганская экономика. Финансовые рынки для тех, кто их в гробу видал. 2017

Еще по теме ПОЧЕМУ НАМ ТРУДНО В ЭТО ПОВЕРИТЬ? ОТВЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ: СТЕПЕНИ ТРУДНО ОСОЗНАТЬ.:

  1. ОТВЕТЫ НА ТРУДНЫЕ ВОПРОСЫ
  2. Почему так трудно принимать решения
  3. Глава 7. Широкий ассортимент это трудный путь к дифференцированию
  4. Трудный поиск
  5. Самый трудный момент
  6. Люди, которых трудно застать на месте
  7. Александр Репьев. Как продавать продукты трудного выбора, 2016
  8. Задавая открытые вопросы, трудно ошибиться
  9. Десять трудных уроков использования компьютеров в школе.
  10. Найти ресурсы легко, трудно их приумножить.
  11. Трудный день для компании «превосходные изделия»
  12. Когда былое преимущество утрачено, его трудно бывает восстановить
  13. Правило одного шага 18. Аффирмация«В любой момент сделать один шаг не так уж трудно»
  14. Все дела в этом мире сначала бывают трудными, а потом становятся легкими.
  15. Нужно иметь какие-нибудь преимущества. В противном случае бороться за успех будет гораздо труднее.
  16. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ СОЗДАЙТЕ СТРУКТУРЫ, КОТОРЫЕ БУДУТ НА ВАС РАБОТАТЬ или Трудно удержаться на треке без разметки
  17. Простое решение очень сложно найти. Чем проще решение, тем труднее на него выйти.
  18. Сразу стоит сказать, что есть страны, где гражданам РФ проще открыть счет, а есть те, где сложнее. Проще это сделать в банках Прибалтики, Кипра, Германии, отчасти – это Люксембург, Швейцария и т. д. В меньшей степени это Великобритания, Франция
  19. Мы разработали два сценария на 2025 год, иллюстрирующие пути развития анархономики В сценарии «Восстание против картелей» интеллектуальные права еще более ужесточаются и, хотя это облегчает жизнь за счёт массового производства контента, однако создает контркультуру «пиратов» В сценарии «Эпоха возможностей» интеллектуальные права, напротив, смягчаются, при этом становится труднее жить за счёт массового производства контента, хотя эа ситуация и дает небогатым людям больше возможностей В обоих сцен
  20. Чем лучше вы что-то делаете сами, тем труднее вам передать эти функции другому человеку. Вам легче и быстрее сделать самому, чем объяснить кому-то, как выполняется данная задача